Modelle zur Beschreibung einer Epidemie

Mathematische Modelle in der Übersicht

1.SIR Modell (einfachstes Modell für Virus Erkrankungen)

S = Susceptible = empfänglich für den Virus

I = Infectious = infiziert mit dem Virus

R = Removed/ Recovered = genesen und immun

2. SEIR Modell (wie SIR, jedoch erweitert um den Status „latent infiziert“)

S = Susceptible

E = Exposed (latent infiziert aber noch nicht ansteckend)

I = Infectious

R = Removed/ Recovered

Das SEIR Modell wird in nochmals erweiterter Form z.B. vom RKI verwendet.

3. SIRS Modell wie SIR, jedoch besteht die Gefahr der Wiederansteckung nach Genesung mit S=Susceptible; d.h. keine vollständige Immunität oder das Virus hat mutiert

4. SIS Modell gilt für bakterielle Erkrankungen, da keine Immunisierung erfolgt

Beispiel: das einfache SIR Modell

1.SIR Modell (einfachstes Modell für Virus Erkrankungen)
zu unterscheiden sind zwei Varianten
A) mit demographischer Entwicklung, d.h. mit Geburten und Todesfällen. Diese Variante wird z.B. angewendet für Viruserkrankungen wie Masern, die sich über lange Zeiträume erstrecken können.
B) ohne demographische Entwicklung. Diese Variante wird gewählt z.B. bei der Grippeinfektion, die meist saisonal und über einen kurzen Zeitraum (wenige Monate) auftritt

2. Flussdiagramm des SIR Modells Typ B

S ————-> I —————> R

Flussdiagramm erläutert mit wichtigen Variablen (Quelle: Princeton Applied Mathematics)

N, I(O), ƛ, S ————>I(t)

S——————–> I ——————> R

N = Gesamtzahl der Bevölkerung (z.B. der Stadt München)
I(0) = Zahl der Erstinfizierten (z.B Zahl der infizierten Rückkehrer aus Ischgl nach München)
λ = Grad der Ansteckungsgefahr (Disease transmission parameter) bei Grippe ca. 0,5
S = Anzahl der empfänglichen Personen. Kann sich von N unterscheiden, da evtl. bestimmte Gruppen nicht
betroffen oder immun sind
I(t)=Anzahl der Infizierten als Funktion der Zeit
γ = typische Dauer der Infektion

Verlauf der Infektion – Initial Growth Rate

Die Infektionsrate nimmt anfangs meist einen exponentiellen Verlauf (Initial growth rate), der aus aktuellen Daten gewonnen wird. Mit einem mathematischen Ansatz der Form

I(t) = I(0)*exp(𝛾(Ro-1)*t)

für die Anzahl der Infizierten I(t) als Funktion der Zeit gewinnt man daraus eine durchschnittliche Basisreproduktionszahl Ro, die häufig in Berichten genannt wird.

Für Grippeinfektionen weiss man aus der Vergangenheit, dass Ro meist im Bereich von 1,4 – 2,4 liegt. D.h. ein Infizierter steckt typischerweise 1,4 bis 2,4 andere Personen an.

Der Wert für 𝛾 = typische Dauer der Infektion muss anfangs geschätzt werden bis man über genügend Daten verfügt. Zur Zeit geht man von einer Infektionsdauer von 8,4 Tagen aus.

Aus den Werten Ro und γ kann man den Wert λ für die Ansteckungsgefahr ermitteln.
Im Verlauf einer Epidemie ändern sich die Werte permanent. Ziel der Maßnahmen wie Quarantäne, Social Distancing, Schulschliessungen und letztlich Medikamente und Impfungen ist es, den Wert für Ro dauerhaft deutlich unter den Wert 1 zu bekommen.
Gelingt es durch geeignete Massnahmen die Infektionsrate einzudämmen, erreicht die Anzahl der Neuinfizierten I(t) ein Maximum und sinkt danach, meist auch wieder exponentiell, ab.

Graphisch und mathematisch lässt sich so ein Verlauf z.B. mit Hilfe der sogenannten Normalverteilung (Gauss´sche Glockenkurve) darstellen.
Beispiel: Neuinfektionskurve Deutschland vom 11.04.2020:

Werte ändern sich täglich, da aufgrund der Berichterstattung viele ältere Fälle noch nachgemeldet werden.

(19. April 2020)